Correcteur proportionnel intégral (PI)

L'intérêt de la correction de type intégrale est de permettre une erreur statique nulle. En effet, si le système comporte un intégrateur et se stabilise à un point d'équilibre, tous les signaux sont constants. Or, pour que la sortie d'un intégrateur soit constante, il est nécessaire que son entrée soit nulle. Si l'entrée de l'intégrateur est reliée à l'erreur de régulation, l'effet du terme intégral sera bien d'annuler cette erreur. Notons que l'erreur est annulée même en présence d'une perturbation. Annuler l'erreur en régime permanent est une chose, mais le faire rapidement en est une autre. Il convient donc d'être capable de régler le correcteur de manière adéquate.

Deux types de corrections PI sont possibles :

Exercice 19 (Correcteur PI pour système du premier ordre)  
Soit un système d'équation différentielle $ \tau \dot{y}(t) + y(t) = K u(t)$ avec $ \tau = 20~$ms et $ K=0,4$. On envisage une loi de commande proportionnelle-intégrale de la forme $ u(t) = -K_p y(t) + K_i \int^t (r(\tau) - y(\tau)) d\tau$.
  1. Déterminez l'équation différentielle du second ordre liant la référence et la mesure et modélisant le système bouclé.
  2. Montrez que l'erreur statique est nulle quelque soit les valeurs des paramètres du correcteur.
  3. Déterminez les valeurs des paramètres permettant d'obtenir une pulsation propre de 200 rad/s et un amortissement de 1.

Exercice 20 (Asservissement PI d'un système du second ordre)  
Soit un système de fonction de transfert $ H(s) = \frac{K}{(s + a)(s + b)}$ avec $ a = 10~$rad/s, $ b = 40~$rad/s et $ K = 10$. On envisage d'utiliser un correcteur PI de la forme $ K(s) = \frac{K_p}{s}(s+\frac{1}{\tau_i})$$ K_p$ est le gain du correcteur et $ \tau_i$ est sa constante de temps. On choisit la stratégie suivante : on règle le correcteur de manière à compenser le pôle basse fréquence du système et à avoir une marge de gain de 45^&cir#circ;.
  1. Tracez l'allure du diagramme de Bode du système et de celui du correcteur pour des valeurs quelconques de ses paramètres.
  2. Écrivez la FTBO du système.
  3. Donnez la valeur de $ \tau_i$ et simplifiez l'expression de la FTBO en conséquence.
  4. Tracez le diagramme de Bode de la FTBO.
  5. Donnez la valeur de $ K_p$ permettant de respecter la marge de phase spécifiée.
  6. Donnez le temps de réponse approché du système.
  7. Quelle est la précision du système asservi ?
  8. On suppose que le systèmes est perturbé en entrée par un signal $ p(t)$. Calculez la fonction de transfert en boucle fermée $ H_{\mathrm{yp}}(s)$ entre $ P(s)$ et $ Y(s)$.
  9. Tracez l'allure du diagramme de Bode de $ H_{\mathrm{yp}}(s)$.
  10. Calculez le gain maximal de $ H_{\mathrm{yp}}(s)$. Pour quel pulsation est-il obtenu ?

Exercice 21 (Correction PI d'un système à retard)  
On considère un système du premier ordre avec retard de fonction de transfert $ H(s) = \frac{K\exp(-t/\tau)}{s + a}$ avec $ a = 1~$rad/s, $ \tau = 0.1~$s et $ K = 1$. On envisage d'utiliser un correcteur PI de la forme $ K(s) = \frac{K_p}{s}(s+\frac{1}{\tau_i})$. On choisit la stratégie suivante : on règle le correcteur de manière à compenser le pôle du système et à avoir une marge de gain de 45^&cir#circ;.
  1. Tracez l'allure du diagramme de Bode du système et de celui du correcteur pour des valeurs quelconques de ses paramètres.
  2. Écrivez la FTBO du système.
  3. Donnez la valeur de $ \tau_i$ et simplifiez l'expression de la FTBO en conséquence.
  4. Tracez le diagramme de Bode de la FTBO.
  5. Donnez la valeur de $ K_p$ permettant de respecter la marge de phase spécifiée.
  6. Donnez le temps de réponse approché du système.
  7. Quelle est la précision du système asservi ?



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Laroche 2008-09-29